Pembuktian Teorema - Bukti Tak Langsung

Pada pos ini terdapat bukti langsung, contoh, dan soal latihan beserta jawaban.

Halo lagi sahabat matematika!

Sebelumnya kita telah membahas salah satu metode pembuktian, yaitu bukti langsung. Pada postingan tersebut kita telah membuktikan salah satu proposisi, yaitu

Untuk $n$ bilangan bulat, Jika $n$ ganjil, maka $n^2$  ganjil.

Tapi bagaimana dengan pernyataan sebaliknya? Yakni pernyataan

Untuk $n$ bilangan bulat, Jika $n^2$ ganjil maka $n$ ganjil

Kita lihat beberapa kemungkinan $3^2 = 9$ ganjil maka $3$ ganjil, $(-5)^2 = 25$ ganjil maka $-5$ ganjil, dan $7^2 = 49$ maka $7$ ganjil. Sepertinya proposisi benar, akan kita coba buktikan dengan bukti langsung.

Asumsikan $n^2$ genap, maka terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga $n^2 = 2k + 1$. Sekarang kita menemui jalan buntu. Akan kita apa kan? Bagaimana caranya menunjukkan $n$ juga ganjil? Yang kita ketahui hanyalah $\pm n = \sqrt{2k + 1}$ yang kayanya tidak membawa ke mana-mana. Kita akan mencoba bukti tak langsung.

Pertama perhatikan tabel berikut

Tabel kebenaran kontraposisi

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$p \rightarrow q$	$\sim q\rightarrow \sim p$
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	B	B

Perhatikan bahwa $p \to q$ dan $\sim q \to \sim p$ memiliki nilai kebenaran yang sama untuk tiap kemungkinan. Jadi, ketimbang membuktikan $p \to q$ secara langsung, lebih baik kita buktikan $\sim q \to \sim p$ dengan demikian, $p \to q$ juga akan terbukti.

Pembuktian ini disebut bukti dengan kontraposisi. Bukti dengan kontraposisi merupakan bukti tak langsung, yaitu bukti yang tidak mulai dari premis dari suatu teorema namun berakhir pada kesimpulan teorema tersebut.

Untuk membuktikan yang pertama tadi, cukup buktikan

Untuk bilangan asli $n$, jika $n$ genap maka $n^2$ genap

Pada postingan sebelumnya, ini merupakan soal latihan nomor 4. Kita akan buktikan di sini.

Proposisi. Jika $n$ genap maka $n^2$ genap.
Bukti. Asumsikan $n$ genap.  Maka ada bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $n = 2k$. Dengan menguadratkan diperoleh  $$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$$ Dengan kata lain, $n^2 = 2m$ untuk suatu bilangan bulat $m$. 
Sehingga $n^2$ genap.

Sekarang ke bagian terpenting: latihan. Ada beberapa soal dalam latihan ini. Anda bebas menggunakan bukti langsung ataupun tidak langsung (kebanyakan di sini lebih mudah dengan bukti tak langsung). Untuk solusi, nanti akan ditambahkan (seenggaknya sampai saya bisa nulis tombol show/hide yang cantik di sini)

Latihan

1. Untuk $n$ bilangan bulat, buktikan bahwa jika $n^2$ genap maka $n$ genap. 
2. Untuk $n$ bilangan bulat, buktikan bahwa jika $7x + 9$ genap maka $x$ ganjil.
3. Untuk $n$ bilangan bulat, buktikan bahwa jika $n^2 - 6n + 5$ genap maka $n$ genap.
4. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional.(Lihat definisi bilangan rasional di sini ).
5. Buktikan bahwa jika $x$ irasional, maka $\frac{1}{x}$ irasional.
6. Untuk bilangan real $x$, buktikan bahwa jika $x^2 + 5x < 0$ maka x < 0.
7. Untuk bilangan real $x$ dan $y$, buktikan bahwa jika $y^3 + yx^2 \leq x^3 + xy^2$ maka $y \leq x$. (Petunjuk : negasi $y \leq x$ adalah $x > y$.
8. Untuk bilangan real $x$ dan $y$, buktikan bahwa jika $x^5 -4x^4 + 3x^3 - x^2  + 3x - 4 \geq 0$ maka $x \geq 0$.
9. Buktikan bahwa  untuk bilangan real $x$ dan $y$ jika $x + y \geq 2$  maka $x\geq 1$ atau $y \geq 1$ (Petunjuk : De Morgan)

---

Well, itu aja untuk pembuktian tidak langsung. Untuk selanjutnya kita akan bahas pembuktian dengan kontradiksi (reductio ad absurdum) salah satu yang paling saya suka.

Selamat membuktikan, dan...
See You next Illusion ~